2027年研考天津师范大学669数学分析考试大纲及参考书目

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天津师范大学2027 年硕士研究生招生考试自命题科目考试大纲

考试科目：669数学分析

适用专业：数学

一、考试要求

要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试形式

(一)考试形式为闭卷、笔试。

(二)考试时间为3小时。

(三)满分150分。

三、考试内容

(一)极限论

1. 数列极限、函数极限、连续函数的定义和性质以及极限的计算、证明方法;

2. 连续函数在闭区间的性质;

3. 无穷大量和无穷小量的相关概念及其应用;

4. 实数完备性基本定理。

(二)单变量函数的微积分学

1. 一元函数导数的定义与性质、一元函数常见的求导方法;

2. 一元函数的微分及其运算、高阶导数和高阶微分等;

3. 导数与微分中值定理及其应用，如费马定理、拉格朗 日 中值定理、柯西中值定理等;

4. 泰勒公式及其应用、用导数与微分的基本性质讨论函数的单调性、凹凸性、极值、 曲率等;

5. 待定型的相关理论并掌握其相关的计算方法;

6. 原函数、不定积分、定积分的概念与性质，常见的不定积分与定积分计算方法;

7. 变上限定积分定义的函数及其求导方法;

8. 利用定积分计算一些几何量与物理量，如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及表面积等。

(三)级数

1. 数项级数、 函数项级数、幂级数的基本理论，如函数项级数、幂级数的各种收敛理论与性质，各类级数敛散性的常见判别方法;

2. 傅里叶级数的基本概念及其收敛性理论;

3. 一元函数的反常积分的基本理论与性质，如无穷限反常积分，无界函数反常积分，含参变量的反常积分的敛散性;

4. 反常重积分的基本理论、性质和简单的反常重积分计算方法。

(四)多变量微积分学

1. 平面点集的基本概念和基本定理 ，理解多元函数极限和连续的基本理论与性质;

2. 偏导数和全微分的相关概念、计算方法和复合函数的链式法则;

3. 隐函数存在定理，掌握隐函数求导法则;

4. 偏导数的相关应用，如求空间曲线的切线和法平面、方向导数、极值和条件极值等;

5. 二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念并熟练掌握积分的性质及计算方法;

6. 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的相关内容及应用，曲线积分和路径的无关性等;

7. 利用重积分、曲线积分表达或计算一些几何量与物理量，空间曲线的弧长、立体的体积、质心等。

四、参考书目

[1]《数学分析》(第五版)，主编：华东师范大学数学科学学院，高等教育出版社，2019年版;

[2]《数学分析》(第四版)，主编：欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋，复旦大学数学系，高等教育出版社。