2019年中国传媒大学726数学分析考研大纲

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中国传媒大学硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲

一、考试的基本要求

《数学分析》是为招收应用数学专业硕士生而设置的具有选拔功能的水平考试。 它的主要目的是测试考生对数学分析各项内容的掌握程度。要求考生熟悉数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法, 具有一定的抽象思维能力、较强的逻辑推理能力和运算能力。

二、考试内容和考试要求

1.极限和函数的连续性

数列的极限、函数的极限; 函数的连续性和一致连续性;连续函数的各种性质。

(1)熟练掌握数列极限与函数极限的概念;理解无穷小量的概念及基本性质。

(2)掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限。

(3)熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。

(4)熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理。

2.一元函数微分学

微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义;求导运算;微分运算;微分中值定理;洛必达法则、泰勒展式;导数的应用。

(1)理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。

(2)熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。

(3)熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理以及Taylor展式。

(4)能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。

(5)掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。

3.一元函数积分学

定积分的概念、性质和微积分基本定理;不定积分和定积分的计算;定积分的应用;广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。

(1)理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。

(2)掌握定积分的概念，包括可积条件与可积函数类。

(3)掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。

(4)能用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积与侧面积。

(5)理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法。

4.无穷级数

数项级数的概念、数项级数敛散的判别法;级数的绝对收敛和条件收敛;函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别;幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。

(1)理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。

(2)熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert判别法与积分判别法。

(3)熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。

(4)熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Weierstrass判别法、Abel判别法和Dirichlet判别法。

(5)掌握幂级数及其收敛半径的概念，幂级数的性质, 能够将函数展开为幂级数。

(6)了解Fourier级数的概念与性质。

5.多元函数微分学与积分学

多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念及其性质、重积分的计算;曲线积分和曲面积分;反常积分的定义和判别。

(1)理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。

(2)熟练掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。

(3)熟练掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其应用。

6.含参变量积分

含参变量积分的概念、性质。

(1)了解含参变量常义积分的概念与性质。

(2)熟练掌握变上限积分。

三、考试的基本题型

主要题型可能有：概念题、选择题、填空题、简答题、计算题、证明题等。试卷满分为150分。

四、考试的形式及时间

考试采用闭卷笔试形式。考试时间为180分钟.