湖南大学2018年数学分析考研大纲

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《数学分析》考试大纲

一、极限与连续

内容：映射与函数;数列的极限、函数的极限;实数系的连续性、 连续函数、一致连续;欧氏空间中的点集、多元函数的极限与连续;函数和连续函数的各种性质。

要求：理解集合、映射、函数、极限、连续、一致连续等概念;理解极限和连续的有关性质和定理;掌握求数列和函数极限的各种方法;掌握连续性、间断性的判别方法。

二、微分学

内容：微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义;全微分和偏导数的概念;求导运算;微分运算;微分中值定理;洛必达法则、泰勒公式;最值和极值。

要求：理解微分和导数的概念、关系、几何意义和性质;掌握求微分和导数(一阶和高阶，一元和多元，隐函数，复合函数)的各种方法;理解和应用微分中值定理、泰勒展开;掌握各种最值和极值的求法(一元和多元，条件极值);判断函数的凹凸性;求空间曲面的切平面和空间曲线的切线。

三、积分学

内容：定积分的概念、性质和微积分基本定理;不定积分和定积分的计算;定积分的应用;重积分的概念及其性质、重积分的计算;曲线积分和曲面积分;反常积分的定义和判别。

要求：理解定积分的概念、性质、意义和微积分基本定理，理解黎曼积分概念，并能灵活应用;掌握不定积分和定积分的各种计算方法(换元法、分部积分、有理函数积分);掌握用定积分计算几何量和物理量的方法;理解二重和三重积分的概念和性质，掌握二重和三重积分的计算方法;掌握曲线积分和曲面积分概念及计算，掌握各种积分之间的关系;掌握反常积分收敛性的讨论和判别方法。

四、级数

内容：数项级数、数项级数的判别法;级数的绝对收敛和条件收敛;函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别;幂级数及其性质、泰勒级数。

要求：理解级数收敛、发散、一致收敛的概念;掌握级数收敛的判别方法(绝对收敛、条件收敛、一致收敛);掌握幂级数收敛半径和收敛区间的判别方法，并能利用幂级数的性质求和函数。