2017考研高数：极限的一般题型总结

考研数学来源：中公考研 2016-01-13　

考研高数求极限是考研数学的重要考点，下面将各种求极限的一般题型总结如下，希望能帮到你们。

1、求分段函数的极限，当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了!当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的!

2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉!

解决办法：

1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是!有2个问题要注意!问题1：积分函数能否求导?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的!!!!问题2：被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决?

解决1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!

解决2的方法：当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数!!当x与t是除的关系或者是加减的关系,就要换元了!(换元的时候积分上下限也要变化!)

3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的,当所求的极限是递推数列的时候:首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!!数列是离散的,只能用前后项的比较(前后项相除相减)，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn与xn+1两边同时求极限,就能出结果了!

4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如:当x趋近0时候f(x)比x=3的函数,分子必须是无穷小，否则极限为无穷,还有洛必达法则的应用,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数，求其他的未知数。

5、极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数，但是不太会!!!

最后总结一下间断点的题型：

首先，遇见间断点的问题、连续性的问题、复合函数的问题，在某个点是否可导的问题。主要解决办法一个是画图，你能画出反例来当然不可以了，你实在画不出反例，就有可能是对的，尤其是那些考概念的题目，难度不小，对我而言证明很难的!我就画图!!我要能画出来当然是对的，在这里就要很好的理解一阶导的性质2阶导的性质，函数图形的凹凸性，函数单调性函数的奇偶性在图形中的反应!(在这里尤其要注意分段函数!(例如分段函数导数存在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊!!应为一般的函数都是连续的);

方法2就是举出反例!(在这里也是尤其要注意分段函数!!)例如一个函数是个离散函数，还有个也是离散函数他们的复合函数是否一定是离散的嘞?答案是NO，举个反例就可以了;

方法3上面的都不行那就只好用定义了，主要是写出公式，连续性的公式，求在某一点的导数的公式

最后了，总结一下函数在某一点是否可导的问题：

1、首先函数连续不一定可导，分段函数x绝对值函数在(0，0)不可导，我的理解就是：不可导=在这点上图形不光滑。可导一定连续，因为他有个前提，在点的邻域内有定义，假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等;

主要考点1：函数在某一点可导，他的绝对值函数在这点是否可导?解决办法：记住函数绝对值的导数等于f(x)除以(绝对值(f(x)))再乘以F(x)的导数。所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，找出这些点之后，这个导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小，假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，所以还要找出f(a)导数的值，不为0的时候，绝对值函数在这点的导数是无穷，所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊。

考点2：处处可导的函数与在，某一些点不可导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断，直接使用导数的定义就能证明，我的理解是f(x)连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，f(x)乘以G(x)的函数在x趋近a的时候，f(x)在这点上的这2个极限乘以g(a)，当g(a)等于0的时候，左右极限乘以0当然相等了，乘积的导数=f(a)导数乘以G(a)+G(a)导数乘以F(a)，应为f(a)导数乘以G(a)=0，前面推出来了，所以乘积函数在这点上就可导了。导数为G(a)导数乘以F(a)。