考研数学学不会,要如何逆转?

考研数学 来源:网络 2018-06-19 
 

考研数学作为一门抽象类的学科,学起来往往是一知半解,久而久之考生就会对数学这一学科丧失信心。数学学不会,对考研初试中必考数学的同学是一大禁忌。关于数学,我们总是在机械的阶梯,却从未深入研究过,数学考察的是什么?也难怪你总是得不到考研数学的青睐了。

►我的数学学习历程及遇到的困难

在数学的学习过程中,到底会遇到什么样的困难?以下是小编根据大家的评论总结的:

1.数学内容抽象,看不懂。

2.知识点太多,记不住。

3.题目太难,遇到难题不会做。

4.找不到人讨论,太枯燥。

因为大学的学习特点,不像高中,大家都学一样的东西,然后按照同样的节奏在走,所以遇到同样的学科,还能讨论一下。可是大学呢,找人讨论都很困难,各忙各的,所以就显得这个学习过程很枯燥。

5.时间太短,压力大。

怎么时间太短了呢?从现在到考研只剩6个月时间,而这6个月也不是全部都给了数学,还有许多其他科目。其实计算下来也就没有多久了。

有个朋友说,“眼睁睁看着老师把一道全是英文和希腊字母的题,最后解出的答案竟然是阿拉伯数字,直到现在还费解。”这些实际上是指高等数学比较抽象。

►数学到底是什么?

要读懂高等数学,我们必然会问这样一个问题,数学究竟是什么?以高等数学为例,大家在网上常常会看到这样的所谓知识结构图。

在这副图里面,把高等数学比喻成一棵大树,函数是这棵大树的根,我们高中的数学里面都已经学过了,如反函数、奇偶函数的奇偶性、初等函数、复合函数等等;然后这棵大树的主干是函数的极限,也就是我们高等数学的第一章,函数的极限。

在左边,函数的极限生长出一个大的分支,叫做导数与微分。导数与微分首先涉及到中值定理,微分中值定理和中值定理的应用。然后它又导向了第二个分支,多元函数的微分学,而函数的极限又引出了另外一个大的分支,叫做不定积分,不定积分一方面,引向定积分与定积分的应用,另一方面又引向了常微分方程。这不是思维导图做的,这就是直接在这棵大树上面加上去的一些,用PPT就可以做出来。

像这样的图像对大家把握一门知识是有利的,但这样的图片也会造成一个误导。导致我们把数学仅仅当做知识来看待。因此产生了数学学习的巨大的困难和障碍。因此学习数学的第一个误区就出现了:把数学仅仅当做知识来看待。

我们看看大数学家们是怎么看数学的。

比如这本书叫做《什么是数学》,副标题是“对思想和方法的基本研究”,它的作者是柯朗。柯朗是20世纪最伟大的数学家之一,美国有一个世界闻名的柯朗研究所。很多大科学家对这本书有高度的赞誉,比如爱因斯坦说,“本书是对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述”;爱因斯坦的好朋友,韦尔是20世纪伟大的数学物理学家,他称赞,“这是一本非常完美的著作,被数学家们视作科学的鲜血的一切基本思路和方法。在《什么是数学》这本书中,用最简单的例子,使之清晰明了,已经达到了令人惊讶的程度”。

看到爱因斯坦和韦尔评价这本书的话,我们都很想去读一读这本书究竟在讲什么,但是如果大家去看这本书,多数人会感到失望。

为什么会失望呢?是因为这本书里面进的东西,我们看起来似乎很简单,比我们教科书的内容还要简单一些。那为什么这样一本书会受到如此高度的赞誉?实际上这本书看似内容并不复杂,但是它却告诉了我们一件事,那就是数学究竟是什么?它的答案就是:数学的本质是思维技能!

我们看一看,高等数学的所有部分都贯穿着同样的思维结构。

►这个思维结构是什么?

就是从问题引入定义,这个定义一般会对应着几何直观;然后定义又引入定义的性质,比如导数的性质,极限的性质等,另外,定义包含着运算,比如导数,从导数的定义直接就可以推出运算法则。然后从定义和运算法则和性质,会推出一系列的定理,这些定理在各个复杂的数学情形中进行应用,乃至应用于其他的领域,包括物理学,经济学,生物学等等。

这里关键在于所有的数学分支都是这么同样的一个结构,几乎是完全相同的,大家看看这个说法是不是有道理,大家回忆一下,是不是高数的所有分支都是这样一个同样的结构。

如果我们把高等数学的本质当做思维技能来看待,我们立即能回答很多问题,比如说为什么平时做题不错,而考研成绩却不佳,其实最重要的原因是把数学仅仅当做知识来学,因为考研的时候,就它不会考同样的题目。题型还会变动,我们的记忆是会波动的,如果我们着眼于这个思维技能,我们就会发现,技能比知识的记忆要稳定得多,技能比知识的记忆要快得多,技能往往是一种自动化的东西,而知识需要想半天。

我们从一个正面的例子来看,有一位考生,他在考研过程中感冒,前两科就感冒,考到数学的时候还感冒,结果他数学还是考了143分,考的是数学一,他用的参考书全是2013版的,本来是2014年考研,应该用2014年版的参考书,但是他用的2013版的。为什么他能够做到这一点,实际上数学在他大脑中,变成了这个思维的技能。

可能很多人仍然不理解:数学知识和数学的思维技能究竟有什么差别?

举一个例子,看过一万遍钢琴谱的人会弹钢琴吗?甚至弹过一万遍1234567的人,能弹好曲子吗?显然不一定啊。所以当我们去学数学的时候,我们看许多遍书,不一定有效。看许多遍视频,也不一定有效,即便是练过许多题目,也不一定有效,因为这么做的人多了,考的成绩不理想的。这么做的人,考的成绩不理想的人,比比皆是。

那么什么才是核心?什么才是关键?

最核心的是训练数学的思维。

►数学思维

当我们看书的时候,当我们看视频的时候,当我们练习题目的时候,如果我们关注的是如何训练自己的数学思维,这样才会产生效果。这种训练会训练出一种思维技能,数学的思维技能,而这种技能是贯穿于数学的所有分支,所有部分的。

这种技能甚至还可以迁移到其他领域,如果我们把数学看作思维技能的话,立刻可以理解为什么数学成绩很突出的人,反而不去记很多东西?就像我刚才讲的那位师弟,在黑板上出一道积分的题目,我们来出题,我们在那讨论,他站在那30秒钟直接报了个答案。他就是这种类型的人,他不会记很多的数学知识,但他却能迅速解题。为什么?因为他们必要的时候可以推导出来,把公式推导出来,这些知识在他们大脑中是一个有机的记忆,甚至是自动化的。

数学思维的精髓究竟是什么?

爱因斯坦在《物理学的进化》开篇就讲,“提出一个问题,往往比解决一个问题更为重要,因为解决一个问题,也许是一个数学上或实验上的技巧,而提出新的问题,新的可能性,从新的角度看旧问题,却需要创造性的想象力,而且标志着科学的真正进步。”

这段话用来描述我们数学学习的过程,同样恰当。可以这么说,在数学的学习历程中,提出一个问题往往比解决一个问题更为重要,因为解决一个问题,也许是一个数学上的技巧,而提出新的问题,新的可能性,从新的角度看旧问题,却需要创造性的想象力,而且标志着数学学习的真正进步。

►数学学习的九个境界

数学精深训练有九个台阶。

第一个台阶是能看懂。

第二个台阶是能记住;

第三个台阶是会解题;

什么是能看懂?能看懂,就是能够懂得数学定义,定理,公式的来龙去脉。一看到这个定理、公式,脑子里面盘旋的一些问题,我们一一找到答案,我们要从内心里面去回答,那么找到的答案越多,做出来的问答越多,我们就懂得的越多,这就是能看懂的含义。

往往是这一步,使得很多人难以入门,一旦我们做到这一点的话,我们马上就迈上了第一个台阶,迈上第一个台阶之后,能记住会解题,只要我们把那些最基本的东西给做出来,做一遍,亲自动手去算一遍,那么我们马上就会跨过第二个、第三个台阶。

这样的话,考一个及格的分数就不成问题了。有不少人把高数的考研目标定为90分,实际上做完刚才所说的这些,每一章,每一节都这么去做的话,考90分根本不成问题。

第四个台阶是熟练解题;

在解题的过程中不断地进行这样的有意识的思维操作的训练,那么熟练解题也为之不远了。

第五个台阶是会梳理;

什么是会梳理?刚才已经给大家分享了数学的基本结构是什么?每一章都在重复同样的基本结构,把那些知识点都给汇总到这个知识结构里面,就是会梳理。包括我们每一章都在用什么样的运算技巧?大家心里面有没有数,这一章我们会用到什么,什么样的运算技巧,能不能1、2、3、4、5、6、7、8,这么列出来,一是一、二是二的列出来,如果这么做了,那肯定是会梳理了。

第六个台阶是融会贯通;

什么是融会贯通?比如导数,是从什么问题引入的?导数的定义,它的严格的定义是什么?它对应的几何直观是什么?导数怎么推出导数的四则运算法则?导数的定义和运算法则又有什么用?能解什么样的题目?如果我们一步步这么做下来的话,那就是融会贯通了,对这一章,这一节融汇贯通了。

第七个台阶是把握数学思维;

什么是把握数学思维?所谓的数学思维就是一个一个的基本的思维操作,像加、减、乘、除法,各种类型的加、减、乘、除法,像加一项、减一项,像它的定义,为什么会有这样的定义?它的问题是什么?这个定义能解决什么问题?当我们提这些问题,去找它的答案的时候,按照这样的思维去训练的时候,我们就把握数学思维了。

第八个台阶是体验学习的乐趣;

一旦我们做到前面这几步的话,那数学的学习自然就有乐趣,设想一下,我们面对一块黑板或者一张白纸,我们从导数的定义开始做起,一下就把这一套全都写下来了,不用看参考书,从导数的定义一直推出这个导数的运算法则,解出一些基本函数的导数,然后解出更复杂函数的导数。这里面能没有乐趣吗?当然有乐趣了。而且我们回答了心中的一个又一个的问题,而这些问题呢,它不但可以提高成绩,还可以跟其他人来交流,给其他人带来启发。

第九个台阶是能够投入,忘我的学习。

达到第八个台阶就很容易到达第九个台阶了,就是乐此不疲,我们称之为心流,flow。我们这样子学习三个小时的数学,感觉时间才过了半个小时一样。

四、五、六、这个台阶迈上去,那么我们数学考个优秀的成绩,考个120分,就不是问题了,如果我们到达了这七、八、九,这三个境界,那么考更高的成绩,像我刚才那个师弟讲的,考130分,140多分,那就是完全有可能的了,因为你都觉得数学学习都不是负担了,不是障碍了,不是痛苦而是享受了,解道难题会带来巨大的乐趣啊。

►读不懂数学怎么办?

1.我们学习数学,必定需要扎实的基本功,这个基本功是什么?

就是刚才讲的那个基本的思维技能,但可惜的是许多人不曾掌握这个思维技能,甚至都没有意识到,我们在做数学的过程中,在不断进行同样的思维操作,那个思维操作就是:基本的问答,不断在做问答,不断地在做加、减、乘、除法,不断地在从问题到定义,到定义的性质,到运算法则,到定理,到定理的应用去解题目,不断地在进行这样的或大或小的思维操作,这些思维操作,就是数学思维的基本的技能,也就是我们学数学的基本功。

2.任何技能的学习,任何技能的掌握,必定是先慢后快

著名数学家小平邦彦,在一开始读不懂数学时,选择了抄书,他把一整本书完完整整的抄了一遍。但如果他一本本地去抄,当但数学的文献浩如烟海,经典著作多得不得了,他如果都是这么慢慢的抄的话,那得抄到何年何月?正因为他抄的过程中,他不断地去熟悉和训练自己的思维技能,任何数学分支都有同样的结构,一旦熟悉这个技能,那就熟能生巧了。

反之,一旦我们前面的东西没掌握,认为它很简单,认为它很显然,认为它不值得一做,很可能在遇到那个考研题目的时候,我们都没有解题思路,甚至有解题思路,我们做不对,做不出来,

3.不要纠结于有没有天资,除非努力过。

即便是数学家,他们学数学的初期,仍然遇到很大的困难,我们在学高数的过程中,遇到困难的时候,看不懂的时候,题目做不出来的时候,经常会自我怀疑,是不是我数学真的就不行啊?我没有数学思维啊?

不是,不是那样子的。认知神经科学的研究表明,我们天生下来就有数学思维。严格的论证,之后跟大家来分享一下。不要再纠结这个问题了,除非我们努力过。连这样的数学家都做过这样的努力,那我们,我们问问自己,我们有没有做过这个与之相,相当的这个努力。

4.“如果世界上有奇迹,那只不过是努力的代名词”

我们能解一道题目,中等难度的题目,只不过是由那些基本的知识点,那些基本的思维操作所导出来的。一道更难的题目也是一样的,我们解了一道很难的题目,会感到骄傲,感到是个奇迹,那只不过是我们以前以往点点滴滴的努力累积出来的,就是像积分一样,一点一点的积累出来的。

5.没有绝对懂与不懂,关键是我今天有没有懂得更多。

我今天懂了多少,我今天究竟懂了什么?我今天找到了哪些问题的答案,这是关键。包括我们在做一道题目的时候,我做错了,做错的话,我有什么收获?我做对了,也要问自己究竟收获了多少?一是一,二是二,三是三,我们有没有这么去做?这样做非常关键。

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