重庆工商大学

考试科目代码及名称

869高等代数

考试方式

闭卷

题型结构

计算题、证明题

考试总时长及总分

180 分钟； 150 分

考试要求、主要内容：

要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，   掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

考试内容：

（一） 多项式

1.   一元多项式的整除、最大公因式、带余除法公式、互素、不可约多项式、因式分解、重因式、根及重根、多项式函数的概念及判别；

2.   辗转相除法求两个多项式的最大公因式；多项式有重因式的判别方法，实数域、复数域上多项式因式分解定理，有理系数多项式的全部有理根；

3.   一些重要定理的证明；运用多项式理论证明有关命题； 用多项式函数方法证明有关结论。

（二） 行列式

1.   n -级排列、对换、 n -级排列的逆序及逆序数和奇偶性；

2.   n -阶行列式的定义，基本性质及常用计算方法；

3.   行列式的代数余子式，Vandermonde行列式；

4.   Cramer法则解决问题。

（三） 线性方程组

1.   向量组线性相（无）关的判别及相应齐次线性方程组有（无）非零解的相关向量判别法、行列式判别法；

2.   向量组的极大线性无关组性质，向量组之间秩的大小关系定理及其推论，向量组的秩的概念及计算，矩阵的行秩、列秩、秩概念及其行列式判别法和计算；

3.   线性方程组有（无）解的判别定理，齐次线性方程组有（无）非零解的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、通解的求法；

4.   非齐次线性方程组的解法和解的结构定理。

（四） 矩阵理论

1.   矩阵基本运算、分块矩阵运算及常用分块方法并用于证明与矩阵相关的结论；

2.   初等矩阵、初等变换及其与初等矩阵；

3.   矩阵的逆和矩阵的等价标准形，矩阵可逆的条件及其与矩阵的秩和初等矩阵的关系，伴随矩阵概念及性质；

4.   行列式乘积定理；

5.   矩阵的迹、方阵的多项式；

6.   矩阵的常用分解，一些特殊矩阵的常用性质；

（五） 二次型理论

1.   二次型及其标准形、规范形，惯性定理及其应用；

2.   实二次型或实对称矩阵正定、半正定、负定、半负定的概念及判定条件和应用；

3.   实二次型在合同变换下的规范形以及在正交变换下的特征值标准型的求法。

（六） 线性空间；

1.   线性空间、子空间的定义及性质；

2.   线性空间中一个向量组的秩及计算方法；

3.   线性（子）空间的基和维数，子空间的基扩充定理，生成子空间；子空间的直和、维数公式；

4.   线性空间的同构；

5.   向量组线性相关或无关及子空间直和等相关结论的综合证明。

（七）线性变换

1.   线性变换定义与运算及其矩阵表示；矩阵的特征多项式和最小多项式及其有关性质；

2.   线性变换及其对应矩阵的特征值和特征向量；

3.   线性变换及其矩阵的线性无关特征向量的判别和最大个数及特征子空间；线性变换和矩阵可对角化；

4.   实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，矩阵的对角化的判定和计算；

5.   矩阵相似的概念及同一个线性变换关于不同基的矩阵之间的关系；Hamilton-Caylay定理；

6.   线性变换的不变子空间、核、值域。

（八） λ-矩阵

1.   λ-矩阵的初等变换、标准型、行列式因子、不变因子、初等因子及三种因子之间的关系；

2.   矩阵的Jordan 标准形的存在唯一性定理的证明及其应用。

（九） 欧氏空间

1.   内积和欧氏空间的定义及简单性质；欧氏空间的度量矩阵的概念及性质；

2.   欧氏空间的标准正交基概念及其求法和性质的证明与应用；

3.   子空间的正交以及正交补；

4.   正交变换和正交矩阵，对称变换；线性无关向量组的施密特（Schmidt）正交化方法。

5.   实对称矩阵的正交相似对角化定理及其相应正交矩阵和对角矩阵的求法； 用求特征值方法化实二次型为标准形。

参考书目

[1]   《高等代数 （第五版）》，北京大学数学系前代数小组编，高等教育出版社，2019

[2]   《高等代数（第五版）》，张禾瑞、郝鈵新编，高等教育出版社，2007