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分类:2025考研大纲 来源:湖州师范学院理学院 2022-08-22 相关院校:湖州师范学院
数学硕士研究生入学考试《高等代数》考试大纲
考试科目名称:《高等代数》 科目代码:871
适用专业:0701数学(一级学科)
一、考试形式与试卷结构
(一)试卷总分及考试时间
本试卷总分为150分,考试时间为180分钟。
(二)考试形式
考试形式为闭卷。
(三)试卷题型结构
以计算题和证明题为主。
二、考查目标
要求考生熟练掌握高等代数的基本知识、基本理论和基本方法,能够熟练地运用高等代数的理论和方法解决相关问题。
三、考试内容
本课程考核内容主要包括多项式理论、行列式、矩阵理论、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等八个部分。主要章节内容及考核重点如下:
第一章 多项式
1. 数域
2. 一元多项式
3. 整除的概念
4. 最大公因式
5. 因式分解定理
6. 重因式
7. 多项式函数
8. 复系数与实系数多项式的因式分解
9. 有理系数多项式
重点:多项式整除性质的应用,最大公因式的求法与判定,互素的判定,不可约多项式的性质及判定,重因式与重根的判定。
第二章 行列式
1. 排列
2. n阶行列式
3. n阶行列式的性质
4. 行列式的计算
5. 行列式按一行(列)展开
6. 克拉默法则
重点:行列式的计算及应用,克拉默法则的应用。
第三章 线性方程组
1. 消元法
2. n维向量空间
3. 线性相关性
4. 矩阵的秩
5. 线性方程组有解判别定理
6. 线性方程组解的结构
重点:向量组线性相关性的判定,向量组秩的判定,线性方程组有解的判别条件、齐次线性方程组有非零解的判定、基础解系的求法,线性方程组的求解。
第四章 矩阵
1. 矩阵的概念
2. 矩阵的运算
3. 矩阵乘积的行列式与秩
4. 矩阵的逆
5. 矩阵的分块
6. 初等矩阵
7. 分块矩阵的初等变换及应用举例
重点:矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用,矩阵可逆的判定,逆矩阵的求法,分块矩阵的应用,矩阵秩的性质与判定。
第五章 二次型
1. 二次型的矩阵表示
2. 标准形
3. 唯一性
4. 正定二次型
重点:二次型的化简,实二次型的正(负)惯性指数与符号差的判定,正定矩阵的性质与判定,(半)正定二次型的判定。
第六章 线性空间
1. 集合·映射
2. 线性空间的定义与简单性质
3. 维数·基与坐标
4. 基变换与坐标变换
5. 线性子空间
6. 子空间的交与和
7. 子空间的直和
8. 线性空间的同构
重点:线性(子)空间的基与维数的求法,过渡矩阵的求法,维数公式的应用,子空间直和、线性空间同构的判别及应用。
第七章 线性变换
1. 线性变换的定义
2. 线性变换的运算
3. 线性变换的矩阵
4. 特征值与特征向量
5. 对角矩阵
6. 线性变换的值域与核
7. 不变子空间
8. 若当标准形介绍
重点:特征值与特征向量的判定与求法,线性变换(矩阵)可对角化的判定,线性变换的值域与核的性质及求法,不变子空间性质与判定。
第八章 欧几里得空间
1. 定义与基本概念
2. 标准正交基
3. 同构
4. 正交变换
5. 子空间
6. 实对称矩阵的标准形
重点:欧氏空间的判定,度量矩阵的性质与求法,标准正交基的判定与求法,正交变换与正交矩阵的性质与判定,实对称矩阵的正交相似标准形的应用。
参考教材:
1.高等代数,第五版,北京大学数学系前代数小组编,王萼芳,石生明修订,北京:高等教育出版社,2019。
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