长春理工大学

长春理工大学数学研究生入学初试

《高等代数》考试大纲

一、总体要求

高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，它的主要内容包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间、双线性函数。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力、推理证明能力和综合分析解决问题的能力。要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、教材

北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，《高等代数》，高等教育出版社，2003年7月第3版.

张禾瑞，郝鈵新编，《高等代数》，高等教育出版社， 1997.

姚慕生编，《高等代数》，复旦大学出版社， 2003.

三、考试内容

(一) 多项式

1. 一元多项式的整除、最大公因式、带余除法公式、互素、不可约、因式分解、重因式、根及重根、多项式函数的概念及判别;

2. 复根存在定理(代数基本定理);

3. 根与系数关系;

4. 一些重要定理的证明，如多项式的整除性质，Eisenstein判别法，不可约多项式的性质，整系数多项式的因式分解定理等;

5. 运用多项式理论证明有关命题，如最大公因式、多项式的互素、不可约多项式的性质有关的问题的证明与应用;

6. 用多项式函数方法证明有关结论。

(二) 行列式1. -级排列、对换、-级排列的逆序及逆序数和奇偶性;

2. -阶行列式的定义，基本性质及常用计算方法(如三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行或一列展开法、Laplace展开法、Vandermonde行列式法);

 

3. Vandermonde行列式;

4. 行列式的代数余子式。

(三) 线性方程组

1. 向量组线性相(无)关的判别及相应齐次线性方程组有(无)非零解的相关向量判别法、行列式判别法;

2. 向量组的极大线性无关组的性质，向量组之间秩的大小关系定理及其三个推论， 向量组的秩的概念及计算，矩阵的行秩、列秩、秩概念及其行列式判别法和计算;

3. Cramer法则，线性方程组有(无)解的判别定理，齐次线性方程组有(无)非零解的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、通解的求法;

4. 非齐次线性方程组的解法和解的结构定理;

(四) 矩阵

1. 矩阵基本运算、分块矩阵运算及常用分块方法并用于证明与矩阵相关的结论，如有关矩阵秩的不等式;

2. 初等矩阵、初等变换及其与初等矩阵的关系和应用;

3. 矩阵的逆和矩阵的等价标准形的概念及计算，矩阵可逆的条件及其与矩阵的秩和初等矩阵的关系，伴随矩阵概念及性质;

4. 行列式乘积定理;

5. 矩阵的转置及相关性质;

6. 一些特殊矩阵的常用性质，如，对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵、幂等矩阵、正交矩阵等;

7. 矩阵的迹、方阵的多项式;

8. 应用矩阵理论解决一些问题。

(五) 二次型

1. 二次型及其标准形、规范型的概念和计算，惯性定理及其应用;

2. 实二次型或实对称矩阵正定、半正定、负定、半负定的概念及判定条件和应用;

3. 实二次型在合同变换下的标准形和规范型，以及在正交变换下的特征值标准形的求法。

(六) 线性空间

1. 线性空间、子空间的定义及性质;

2. 线性空间中一个向量组的秩及计算方法;

3. 线性(子)空间的基和维数与向量关于基的坐标，子空间的基扩充定理，基变换与坐标变换，生成子空间，子空间的直和，一些常见的子空间，如线性方程组的解空间，矩阵空间，多项式空间;

4. 子空间的直和、维数公式;

5. 线性空间的同构;

6. 向量组线性相关或无关及子空间直和等相关结论的综合证明;

(七) 线性变换

1. 线性变换定义与运算及其矩阵表示;

2. 矩阵的特征多项式和最小多项式及其有关性质;

3. 线性变换及其对应矩阵的特征值和特征向量的概念和计算;

4. 线性变换及其矩阵的线性无关特征向量的判别和最大个数及特征子空间;

5. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质;

6. 矩阵相似的概念及同一个线性变换关于不同基的矩阵之间的关系;

7. 线性变换的不变子空间、核、值域的概念及关系和计算;

8. 线性变换和矩阵可对角化的概念和条件;

9. Hamilton-Caylay定理。

(八) λ-矩阵

1. λ-矩阵的初等变换、标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及三种因子之间的关系;

2. 矩阵的Jordan标准形的存在唯一性定理的证明及其应用。

(九) 欧氏空间

1. 内积和欧氏空间的定义及简单性质，如柯西—布涅可夫斯基不等式、三角不等式、勾股定理等;

2. 欧氏空间的度量矩阵的概念及性质;

3. 欧氏空间的标准正交基概念及其求法和性质的证明与应用;

4. 正交变换和正交矩阵的等价条件;

5. 对称变换的概念及其简单性质;

6. 实对称矩阵的正交相似对角化定理及其相应正交矩阵和对角矩阵的求法;

7. 线性无关向量组的施密特(Schmidt)正交化方法;

8. 两类正交变换、酉空间和酉变换;

9. 正交相似变换。

(十) 双线性函数

1. 对偶基定义、性质计算与证明;

2. 线性函数、同构映射定义定义及性质;

3. 双线性函数、对称双线性函数和反对称双线性函数的定义及性质。