南开大学 - 话题

南开大学数学科学学院：《高等代数》考试大纲


（一）多项式


考试内容
数域；一元多项式；整除的概念及性质；最大公因式及辗转相除法；互素的概念及性质；不可约多项式的概念及性质；因式分解及唯一性定理。
考试要求
1.掌握数域、一元多项式的概念，了解一元多项式的运算及性质。
2.掌握多项式整除的概念，了解相关的性质。
3.掌握最大公因式的概念，了解辗转相除法。
4.理解互素的概念，掌握两个一元多项式互素的充分必要条件。
5.了解不可约多项式的概念及其性质。
6.了解一般系数的多项式的因式分解定理，掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理。

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(八)λ-矩阵

考试内容
λ-矩阵的概念；λ-矩阵的初等变换；λ-矩阵间的等价概念及等价的充分必要条件；λ-矩阵在初等变换下的标准形；λ-矩阵的行列式因子、不变因子及两者之间的关系；矩阵相似的条件；初等因子的概念；复方阵的若当标准形。
考试要求
1.了解λ-矩阵的秩、可逆等概念。
2.理解λ-矩阵的初等变换、等价等概念，掌握判定λ-矩阵等价的充分必要条件。
3.会用初等变换求λ-矩阵的标准形。
4.掌握λ-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子等概念及三者之间的关系。
5.掌握两个矩阵相似的充分必要条件。
6.了解复方阵的若当标准形。

(九)欧几里德空间
考试内容
内积的定义及其性质；欧几里德空间的概念；正交基和标准正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化过程；正交矩阵；正交变换及其性质；正交子空间、正交补及其性质；实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵；欧几里德空间的同构。
考试要求
1.掌握线性空间内积的概念及性质，理解欧几里德空间的概念，了解欧几里德空间中向量的正交，了解欧几里德空间中基的度量矩阵及其用途。
2.理解正交基和标准正交基的概念，掌握标准正交基的求法（施密特正交化过程），了解标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。
3.掌握正交矩阵的概念及性质，了解正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。
4.理解正交变换的概念及其性质，了解正交变换和正交矩阵之间的关系。
5.理解正交子空间、正交补的概念及性质。
6.熟悉实对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质，对给定的实对称矩阵A会求正交矩阵T使T′AT成为对角矩阵。
7.了解欧几里德空间同构的概念和性质，了解有限维欧几里德空间同构的充分必要条件。

(九)欧几里德空间
考试内容
内积的定义及其性质；欧几里德空间的概念；正交基和标准正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化过程；正交矩阵；正交变换及其性质；正交子空间、正交补及其性质；实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵；欧几里德空间的同构。
考试要求
1.掌握线性空间内积的概念及性质，理解欧几里德空间的概念，了解欧几里德空间中向量的正交，了解欧几里德空间中基的度量矩阵及其用途。
2.理解正交基和标准正交基的概念，掌握标准正交基的求法（施密特正交化过程），了解标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。
3.掌握正交矩阵的概念及性质，了解正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。
4.理解正交变换的概念及其性质，了解正交变换和正交矩阵之间的关系。
5.理解正交子空间、正交补的概念及性质。
6.熟悉实对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质，对给定的实对称矩阵A会求正交矩阵T使T′AT成为对角矩阵。
7.了解欧几里德空间同构的概念和性质，了解有限维欧几里德空间同构的充分必要条件。

(九)欧几里德空间
考试内容
内积的定义及其性质；欧几里德空间的概念；正交基和标准正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化过程；正交矩阵；正交变换及其性质；正交子空间、正交补及其性质；实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵；欧几里德空间的同构。
考试要求
1.掌握线性空间内积的概念及性质，理解欧几里德空间的概念，了解欧几里德空间中向量的正交，了解欧几里德空间中基的度量矩阵及其用途。
2.理解正交基和标准正交基的概念，掌握标准正交基的求法（施密特正交化过程），了解标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。
3.掌握正交矩阵的概念及性质，了解正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。
4.理解正交变换的概念及其性质，了解正交变换和正交矩阵之间的关系。
5.理解正交子空间、正交补的概念及性质。
6.熟悉实对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质，对给定的实对称矩阵A会求正交矩阵T使T′AT成为对角矩阵。
7.了解欧几里德空间同构的概念和性质，了解有限维欧几里德空间同构的充分必要条件。

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