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冲刺阶段线性代数复习
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发表于 2010-09-23 21:48
楼主
黄先开：很高兴有这么一个机会，把我对考研，特别是线性代数这一部分主要的内容跟大家交换一下意见。实际上线性代数这部分，同学们经常走两个极端，有一部分同学感觉线性代数这部分是比较好掌握的，也有一部分同学感觉这部分难度比较大，这个跟线性代数本身的特点应该说是紧密相连的。大家知道，线性代数前后知识的联系非常紧密，所以我们在这一部分复习的时候，一定要抓住我们线性代数的前后联系的这样一些关键点，把知识连贯起来，我们就会发现，掌握起来是比较容易的。整个线性代数，我个人认为，可以分成三大块内容。第一部分，行列式和矩阵，是我们线性代数的基础部分，基础部分一般来讲不考大题。以这个为基础，另外两部分，一部分是向量和线性方程组，一般情况下每年在这个部分考一个大题，还有特定向量与二次型，其次特别是二次型，也可以看作同一件事情的两个不同方面，因为大家知道，二次型，和对称矩阵构成了一一对应的关系，二次型也很重要，总的基本上是这样一个状况。
网友：今年线性代数哪些部分是出题点？ 黄先开：实际上我刚才大致说了一下，整个线性代数一到四都是考五个题，填空题和选择题考三个，剩下的两个大题，两个大题出题点我刚才也说了一下，把向量和方程组掌握好，考得最多的是向量和一组向量的问题，也可以是直接地考含有参变量的求解，所以不管是考向量的关系，还是考方程组的解，他们联系的纽带，或者最本质的东西就是围绕这个矩阵的秩来考大家的。在向量这部分的大题，一般来讲，是三个点，就是涉及到向量的概念，涉及到相似和对角化，涉及到性质，这三部分都很典型，至于填空题和选择题，填空题是考大家的知识面，考试中任何一个知识点都有可能考大家，数学一也不能忽视，比如向量空间里的极变，坐标的换算，考试当中要你掌握的任何一个知识点都有可能通过填空题来考，设计这个题型的目的就是看大家是不是整个知识点都掌握了，选择题是考大家的判断能力，选择题一般不是考计算题，就是考基本概念，基本理论，基本方法，这些你确确实实搞清楚了，特别是对一些似是而非的问题，很典型的，可以通过选择题考你，这样的话平常我们复习的过程中，应该对这种似是而非的情况有一个比较清晰的概念，不能证明的，或者说不正确的结论，一些常识性的反例，要平常有意识地积累，我们考试的时候直接把这种反例带进去，通过排除的方法，这种方式是比较快速准确地找到选择题的答案的好的方法。 线性代数冲刺阶段怎么复习？ 网友：线性代数冲刺阶段，应该怎么复习？复习的时候应该注意一些什么？ 黄先开：刚才我也大致说了一下，就是前后的联系非常紧密，知识点比较多，有时候如果不注意联系的话，你会感觉知识点很零散，所以这一部分的复习，我认为一方面是基本概念基本理论基本方法，这是我们必须要花时间确确实实搞清楚的，这也是我们历年考试最主要的部分，有了这个基础以后，要注意到前后知识的联系，而前后知识的联系，做一些很有特点的重要的公式和结论，你把这些公式和结论很好地把握了，又注意到前后的知识的联系，抓住这些规律性的东西，再通过我们适当的练习来巩固这些前后知识的联系，我认为线性代数这一部分应该不会出特别偏的题，特别怪的题，你把这些基础的东西打扎实了，把一些重要的公式和结论记牢了，再通过典型的题型强化，这样的话就复习到位了。 网友：线性代数部分怎么样系统地复习？ 黄先开：一定要注意前后的联系。 网友：高数、线代、概率与数理统计这三部分复习时间应该怎么安排比较合理？ 黄先开：根据你自己复习的情况，哪部分比较弱一点，适当可以多花一点时间，但总的来讲，不管这三部分是哪一部分，我认为大家都应该在这一阶段复习的时候，通过做题归纳、总结、提炼，争取上升到一个比较高一点的角度，来看待我们所有的知识，看待我们这样的知识之间的前后联系，比如概率统计，对一部分同学来讲，他感觉比较生疏一点，在本科学习的时候在这部分花的时间少了一点，但这部分的分值也是很高的。这部分复习的时候，我们除了每个章节做题以后，我们还要思考一下，到底概率统计有哪些问题。最终我们总结一下，本质上应该就是三类问题，一类是概率计算，一类是涉及变量及分布，一类是特征问题，概率的计算有五点，有通过随即事件计算概率。所以平常的话，你可能一章节一章节复习，到最后阶段我就可以把这个问题提炼出来，因为很多问题到最后，其实就化为求概率了，你对这个求概率，从这个角度，原来可能是一章节一章节地纵向走，现在我从横向的角度把这个问题再归类，一涉及到概率，我马上想到有哪些方法和途径，线性代数也是这样，我们按照行列式本章的方法计算以外，还有矩阵或者方阵的知识来计算。你从另一个角度归类的时候。无非是三个途径，一个是性质，第二个利用方阵的行列性利用线性计算，第三个利用相似矩阵来计算，我们把这些知识全部做完了，在一定的做题基础上，如果进行这样的归类和总结，到最后你要记忆的就是很小一部分了，这样的话一个题一出来，你就知道有哪些知识点，我可以从哪些角度进行思考，在做题过程中，基本的方法是什么？有没有做题的技巧，有没有隐含的条件，前后的知识怎么样连贯的，这么归类，就是这么几种情况，你这样的心态去考试的话，信心就更足了。 线性代数部分疑难问题解答 网友：对角阵与分块矩阵有哪些联系。 黄先开：分块矩阵我认为是四种比较简单的，可以分成四块的情况，大家可以适当记一下，其他没有必要记，也不会这样考大家。 网友：我的数学这个月才复习，我是数四的考生，我只看八九年之后的真题，行吗？ 黄先开：现在开始复习时间是紧了点，但是跟你的效率也有很大的关系，我建议你把教材的例题和习题全部做一遍，在这个基础上把历年的考题做一下，89年以后的就没有问题了，剩下的就是88、87了，这两年是北京市出的题，所以真正我们教育部考试中心统一命题的就是89年开始的，把历年真题自己做下来，我认为去参加考试，一般过关是没有很大的问题。 网友：今年数二会不会考实对称矩阵相似化。 黄先开：作为实对称矩阵，数学一数学二数学四，我们考数学二没有要求这个知识点，在实对成矩阵这一块，更多的是，大家知道，实对称成矩阵一定是可对角化的，第二个，就是考数学二的同学特别要注意，实对称成矩阵。一般他只会从这两点考你。 网友：特殊矩阵的逆矩阵这部分有什么好的复习方法。 黄先开：因为我们讲的特殊矩阵，主要是单位矩阵，数量矩阵，对角形的矩阵，这些矩阵应该说是非常的简单，其他的特殊矩阵，我认为谈不上，没有一般的规律。 网友：要证明一组向量与线性无关，应该从哪里入手。 黄先开：如果是这组向量具体元素告诉我们了，一般来讲是通过变换题型，求出来方程组的值，对于抽象的向量组，根本没有告诉我们具体元素的，到现在为止考过我们的，我认为只有两个方面，一个是用定义来做，还有一个方法就是把这样一种抽象的向量转化为某一个矩阵的行向量组，利用矩阵求值的方法来判定。 网友：矩阵可逆与矩阵的秩有何关系？ 黄先开：这个矩阵必须是方阵的时候才谈得上是不是可逆，如果是以方阵，他可逆的重要条件就是这个矩阵的值是哪个值，如果这个矩阵不是方阵，谈不上逆的问题，也就跟值没有关系了。 网友：对于给了两个都含有未知参数的矩阵，怎么证明相似。 黄先开：一个是行列式相等，对角线上的元素相加是相等的，第二个途径相似矩阵也有相同的特征多相似。 网友：今年凯莱哈密尔顿定理会不会考。 黄先开：肯定不考。 网友：由于矩阵的特征向量以及方程组的解不唯一，在填空时应该怎么办？ 黄先开：一般情况下这种题他尽量不这样设计，否则给判卷带来困难。有的话，他的解只有一个。如果有两个甚至以上的解，我这个解不唯一，判卷就非常困难，标准答案很难找了，即使设计了不唯一，只要你正确解答了就没有问题。 网友：今年考二次型配方法的可能性大不大？ 黄先开：可能性非常小，我们这么多年直接考配方法都没有考过，但是配方法最简单的原理应该清楚，可能等角变换化也能做，配方法也能做，但是配方法更简单一些。这个比较偏一点的知识，他没有必要这么考。 网友：向量组的线性标识一般出什么题型。 黄先开：考的最多的就是一组向量和一个向量本身他们带有参数，问你这些参数取什么值的时候，这个向量能否用这一组向量表示，什么时候的表示方法是唯一的，什么时候的表示方法是不唯一的，这是很典型的方式。其实可以看作是多个方程组是不是有解的问题，把一组向量能不能用另一组向量同时解决。这种情况去年已经考过，大家还是要注意的。 网友：我的空间感不好，怎么复习向量空间？ 黄先开：灵活应用知识的能力，当然也包括计算能力，也包括我们抽象的推理的能力，也包括我们空间的想象能力，所以这种空间的想象能力，应该说跟数一结合比较紧密的就是空间解析几何，这本身涉及到平面和向量之间的关系，对应到我这个平面和向量，就是这个直线，他们相应的法线和方向的关系，这种情况，我认为大家学习的时候，还是应该对最基本的这种空间的一种表述，以及空间的图形要有一个直观的印象，所以在这部分复习的时候，如果考数一的同学，我个人认为平面和直线的位置关系，把二次曲面这块和我们线面这块联系起来考，不一定单独命题，但是高数只有五个大题了，这部分知识，和其余部分的知识联系起来命题，应该是一种比较典型的表现形式，这有一个过程，还是应该通过我们适当的把基本概念基本理论，基本方法掌握了以后通过一定的做题，通过平常有意识地把图形适当地画一画，了解空间的背景，但没有要求你画得很精确，在画图的过程中培养我们空间的想象能力。 网友：我考数三，向量会不会是重点。 黄先开：是重点。 网友：秩的用途都是什么，从哪些方面考虑。 黄先开：秩是贯穿是我们整个线性代数。这个秩和我们矩阵也可以联系起来，作为一个方阵，如果是满值的就统一，否则就不同意。这个矩阵的值和方程组也有联系。这个矩阵的值和特征值也有关系。这个值其实跟我们线性代数的所有内容都可以联系起来，如果我们做题的时候，你把其余部分的问题，如果你都把他对应到和值联系起来，你就发现，我们前面的线性代数的知识点就一下子都联系起来了。 网友：一般的线性代数部分，会出几道大题。 黄先开：都是两道大题。 网友：二次型是重点吗？ 黄先开：这两年二次型直接命题也考了，考大题比较少一些，前面我开始说了，二次型和实对称矩阵构成了一一对应的关系，我们一上来看到一个二次型大题，实际上马上联想到，这个二次型对称的实矩阵，马上联系分析这个实对称矩阵的性质，如果我们数学一数学三根本没有出现这个二次型，我们就要注意一下有没有考实对称矩阵。实际上已经比较好的出题的形式，数学一数学三，可以通过考一个二次型的东西，也可以考一个实对称矩阵，把这个问题反到二次型上去，这个命题的形式就把两部分的知识有机联系起来了。 网友：做证明题应该注意一些什么情况？ 黄先开：所以我们做证明题的时候，一个是我们自己在草稿纸上找思路的时候，有的证明题他的证明过程，应该是比较明显的，平常我们也做得比较多的，所以没有必要再分析他了，如果平常不是特别注意的问题，或者平常我们做这种证明题不是一下能找到思路的，这种情况我们也可以反过来考虑，从结论开始，然后反推，需要什么条件，我现有的条件是不是都满足了，我们再推到我们的结论，具体写步骤的时候，每步一定要写清楚，而且每一步都应该有依据，这样的话我们按步给分，即使个别时候没有做到，最后的完整答案出来，但是按步给分也可以拿到一些分数，一般情况下非数学专业的考试，证明题不是最主要的。 网友：在数学中的N阶常系数是重要知识点吗？ 黄先开：这种题其实很综合，把向量问题，把矩阵的问题综合在一起，这些题考得太多了，大家比较熟，但是还是历年考试的重点问题。 网友：我在求线性方程组解的时候总是感觉不太顺手，有没有更好的办法。 黄先开：他的解题的思路应该是比较有规律的。我们这样一个阶梯上的元素一定要注意到选取正负一，尽量不要出现分式，达到我们简化计算的目的，否则的话不注意这点，有可能你计算的过程中就出现差错，使整个解答不能完整，再有就是带有参数讨论的时候，也是值得注意的，能不讨论尽量不讨论，不得不讨论的时候，也尽量讨论简单一点的情况，这有一个实践的过程，有大量的做题的时候你才能体会到这一点，还有，我们做真题模拟的时候。一般情况下我们不鼓励，但是我们个别学得很好的同学可以尝试，仅仅是交换两列，同时把位置也交换，这就是做题的技巧的问题。 网友：特殊值和特殊向量这部分是不是重点，今年出题的可能性大不大？ 黄先开：每年我们数学一到数学四，肯定要考一个大题，这部分肯定是重点内容，也是相对比较难一点的内容，这部分可以考向量的计算，也可以考向量对角化，这部分的核心还是相似和对角化，这种情况，可对角化的条件是有N个向量，实际考试的时候，大家可以把这个问题简化，特别是实际考试的时候一般考三级方根，一般考一个二级根和单根，考不考对角化，其实就把二重根，也就是N减去我这样一个二重根对应的特征矩阵的值是不是等于二，也就是我们这个矩阵的值是不是等于一，就是把是不是相似和对角化的问题转化为特征矩阵的值的问题，只要一谈到值，就和我们向量这一部分联系起来了，线性代数的前后知识联系是特别紧密的，但是这部分围绕对角化来考是最多的。 网友：我考数四，线性方程组这部分是不是重点？ 黄先开：这部分一直是重点，如果他提出比较直白一点，大家平常这种题型也见得比较多一些，这种题是传统的综合题，也是现在为止考得最多的，这种题型，相对来说大家还是比较熟悉的，但是这种题，我的建议是什么呢，就是把以前考过的这个题，你不要看标准答案是什么，从头至尾按照你自己的理解把完整的答案算出来，经常有的同学，如果平常动笔比较少一些，会发现，知道怎么算，可是不能把全部的分拿到，这是很可惜的。 网友：黄老师，去年数一线性代数考了特征方程，概率考了矩阵，是不是近几年就不会再重复了，复习的重点是不是倾向于一些去年没有考的知识点？ 黄先开：他其实应该说是今年考吧。其实我们最近这几年，如果我们看看线性代数的考题，相对来讲我认为还是很有规律了，我前面说的，两个大题，一个就是围绕向量和线性方程组，一个是围绕特征向量和线性方程组考，线性代数就是三大块，围绕行列式和矩阵直接考一个大题，但是这种考得相当少，即使考也和我们后面的向量和向量线性方程组结合。 网友：冲刺阶段一定要上辅导班吗，辅导班考前押题吗？ 黄先开：这是因人而异的，辅导班想解决的是个什么问题呢？实际从我们冲刺阶段，辅导班的目的，我也跟我们同学们分析过，到这个阶段，可能大家或多或少地做过模拟题，做完了以后，如果你把书盖上以后，你思考一下，出问题到底出在什么地方？一种情况我认为就是，可能完全自己粗心大意算错的，第二种情况，明明这个题我会做，但是我花了很长的时间才做出来，还有一种情况，就是这个题的条件和结论，前后的联系我都清楚，但是把这个题放在一起来的时候，把这么多条件放在一起的时候，他内在的联系是什么，有的时候可能不能够很方便地找到，从而使这个题解答不下去。也有一种情况，就是完全这个题没有思路，但是我相信通过系统地复习完了以后，真正拿到一个题一点思路都没有的，可能是极少极少的，所以我们从此阶段要解决的是什么问题，不是第一类粗心大意，这个谁也帮不上你，只能靠自己平常多练习，多归纳总结，发现我们到底在什么地方出现粗心大意的。我们这个冲刺班要解决的问题是后面三个部分。就是说我们要搞清楚，你做题很慢，不是你不会做，而是做题过程中间，有没有一些适当的可以简化的处理技巧，第二点就是考我们综合思维能力，这些条件我都看得懂，但是怎么有机联系在一起，到底每门课里含有那些有机的联系，这也是我们冲刺班要解决的问题，第三个就是对可能考上的新题型，我们要注意的，我们也希望通过我们讲的例题和我们实际的考题能够接近，但是我们不提倡押题，数学没有必要押题，你真正把后面三个部分搞清楚了，在原来的基础上有一个很大的提高，这样的话我相信这种辅导是有意义的。我是怎么理解这一部分内容，通过这个辅导班完了以后，你也达到了这种知识你也可以怎么理解了，我们大家的水平也就都一样了，我能考上研究生，我想大家也都能考上。 关于参考书和辅导班的选择 网友：希望您介绍一下冲刺阶段应该看哪些书，有什么模拟试题可以推荐的？ 黄先开：书呢，有时间多看当然是更好了，但把市面上的书都看了也是不现实的，一般在冲刺阶段，你已经把一般的书看完了，一般的复习教材书复习完了，我个人认为，我们这个冲刺的一个多月的时间里头，建议大家还是通过做题来复习，通过做题来复习，强调必须要做的就是我们历年考试的真题，数学一到数学四，大家都可以做一做，这是通过我们命题老师反复琢磨出来的命题。在这个基础上适当做一些模拟题，这对于我们巩固知识也是有好处的，在做完真题基础上有时间有精力可以适当做一些模拟题，市面上真正和考题相近的可以说没有。所以我们自己编的一些模拟题，我们考虑的时候可能比实际的考题略微偏难一点，也是希望大家在平时训练的时候适当难一点，实际考试的时候你就会感觉轻松一些，也是希望达到这个目的，所以平常做这个模拟题的时候，应当坚持这一点，就是在规定的时间里头，不翻看任何辅导书把它做出来，做完了以后你再回过头来检查，看看有没有问题，如果出现问题到底是什么原因的问题，我下次再做模拟题的时候能不能改进它。千万不要边做题边看答案，这样的话效果是比较差的。 冲刺阶段怎样做题？ 网友：现阶段是不是要多做模拟题巩固知识？ 黄先开：数学的复习来讲，我们自己都是这么一步一步考过来的，我认为，有可能单纯只是看书，看别人的解答，实际一动笔做题之后可能有很多问题是你发现不了的，只有通过做题你才能发现这些问题，看的时候发现不了，建议大家基本概念基本理论基本方法掌握的情况下，应该通过做题找一下自己在知识理解上有没有缺陷，我们建议尽可能通过做题来复习。 网友：做模拟试题是做有点难度的好还是和考题接近的好。 黄先开：做模拟试你可能很难找到和考题接近的，我们可能适当地要偏难一点，平常选择难一点，实际考试的时候就会轻松一些。 |
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