考研数学 - 话题

数一暑期复习不得不掌握的知识点：曲线积分(二)

(3) 利用曲线积分与路径无关
设http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF475.tmp.png是区域,http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF486.tmp.png具有一阶连续偏导数,如果对于http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF487.tmp.png内任意指定的两个点http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF497.tmp.png以及http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF498.tmp.png内从点http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4A9.tmp.png到点http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4B9.tmp.png的任意两条曲线http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4BA.tmp.png,恒有

http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4CB.tmp.png

则称曲线积分http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4DC.tmp.png在http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4DD.tmp.png内与路径无关.
注：几个等价条件
设区域http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4ED.tmp.png是一个单连通区域,函数http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF4FE.tmp.png具有一阶连续偏导数,则下列几个条件等价
1)曲线积分http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF50E.tmp.png与路径无关;
2)http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF51F.tmp.png,其中http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF520.tmp.png是http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF531.tmp.png内任意封闭曲线;
3)http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF541.tmp.pnghttp://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF542.tmp.png是某二元函数http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF553.tmp.png的全微分,即存在http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF563.tmp.png使得

http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF564.tmp.pnghttp://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF575.tmp.png;

4)http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF576.tmp.pnghttp://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF587.tmp.png是某二元函数http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF588.tmp.png的梯度;
5)http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF598.tmp.png.
积分与路径无关主要考查五个等价条件，其中1)-4)一般作为已知条件出现，命题者希望考生能够推出条件5)，这种题目一般结论是求函数表达式，所以中间要用到条件5)建立微分方程，进而求出函数表达式.
【例3】设http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF599.tmp.png有二阶连续导数,http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5AA.tmp.png,且
http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5BA.tmp.png
其中http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5CB.tmp.png是右半平面http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5CC.tmp.png内任一分段光滑简单闭曲线,求http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5DD.tmp.png
【分析】已知条件是积分与路径无关的等价条件之一，利用条件5转化成微分方程.
【解析】  由题设条件知，在http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5DE.tmp.png处
http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5EE.tmp.png，
即     http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF5EF.tmp.png.
令http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF600.tmp.png，则http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF601.tmp.png.
这是关于http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF611.tmp.png的一阶线性方程，由通解公式知
http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF612.tmp.pnghttp://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF623.tmp.png.
由http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF624.tmp.png知，http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF635.tmp.png. 于是
http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF636.tmp.png.
由http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF646.tmp.png知，http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF657.tmp.png，则http://file:///C:\\Users\\hp\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wpsF658.tmp.png.

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