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线性代数要记住的结论
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发表于 2010-08-21 19:27
楼主
线性代数要记住的结论
1、行列式 1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、 和 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ； 3. 代数余子式和余子式的关系： 4. 设 行列式 ： 将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ； 将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ； 将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ； 将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ； ③、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； ④、 和 ：副对角元素的乘积 ； ⑤、拉普拉斯展开式： 、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式； 7. 证明 的方法： ①、 ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明 ； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. 是 阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组 有非零解； ， 总有唯一解； 与 等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵； 的行（列）向量组是 的一组基； 是 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立； 3. 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆： 若 ，则： Ⅰ、 ； Ⅱ、 ； ②、 ；（主对角分块） ③、 ；（副对角分块） ④、 ；（拉普拉斯） ⑤、 ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ； 等价类：所有与 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 、 ，若 ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、 若 ，则 可逆，且 ； ②、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ； ③、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素； ③、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ； ④、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ； ⑤、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ； 5. 矩阵秩的基本性质： ①、 ； ②、 ； ③、若 ，则 ； ④、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、 ；（※） ⑥、 ；（※） ⑦、 ；（※） ⑧、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（※） Ⅰ、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）； Ⅱ、 ⑨、若 、 均为 阶方阵，则 ； 6. 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如 的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式： ； 注：Ⅰ、 展开后有 项； Ⅱ、 Ⅲ、组合的性质： ； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩： ； ②、伴随矩阵的特征值： ； ③、 、 8. 关于 矩阵秩的描述： ①、 ， 中有 阶子式不为0， 阶子式全部为0；（两句话） ②、 ， 中有 阶子式全部为0； ③、 ， 中有 阶子式不为0； 9. 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则： ①、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程； ②、 与方程组得未知数个数相同，方程组 为 元方程； 10. 线性方程组 的求解： ①、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由 个未知数 个方程的方程组构成 元线性方程： ①、 ； ②、 （向量方程， 为 矩阵， 个方程， 个未知数） ③、 （全部按列分块，其中 ）； ④、 （线性表出） ⑤、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 1. 个 维列向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ； 个 维行向量所组成的向量组 ： 构成 矩阵 ； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 和 同解；( 例14) 4. ；( 例15) 5. 维向量线性相关的几何意义： ①、 线性相关 ； ②、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）； ③、 线性相关 共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若 线性相关，则 必线性相关； 若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ： 若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则 (二版 定理7)； 向量组 能由向量组 线性表示，则 ；（ 定理3） 向量组 能由向量组 线性表示 有解； （ 定理2） 向量组 能由向量组 等价 （ 定理2推论） 8. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ； ①、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解 ②、矩阵列等价： （右乘， 可逆）； ③、矩阵等价： （ 、 可逆）； 9. 对于矩阵 与 ： ①、若 与 行等价，则 与 的行秩相等； ②、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 的行秩等于列秩； 10. 若 ，则： ①、 的列向量组能由 的列向量组线性表示， 为系数矩阵； ②、 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、 只有零解 只有零解； ②、 有非零解 一定存在非零解； 12. 设向量组 可由向量组 线性表示为：（ 题19结论） （ ） 其中 为 ，且 线性无关，则 组线性无关 ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性： ；充分性：反证法） 注：当 时， 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵 ，存在 ， 、 的列向量线性无关；（ ） ②、对矩阵 ，存在 ， 、 的行向量线性无关； 14. 线性相关 存在一组不全为0的数 ，使得 成立；（定义） 有非零解，即 有非零解； ，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 15. 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ； 16. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关；（ 题33结论） 5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵 或 （定义），性质： ①、 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 ； ②、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ； ③、若 、 正交阵，则 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化： ； ; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、 与 等价 经过初等变换得到 ； ， 、 可逆； ， 、 同型； ②、 与 合同 ，其中可逆； 与 有相同的正、负惯性指数； ③、 与 相似 ； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. 为对称阵，则 为二次型矩阵； 7. 元二次型 为正定： 的正惯性指数为 ； 与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 ； 的所有特征值均为正数； 的各阶顺序主子式均大于0； ；(必要条件) |
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